Задача #2210
Комбинаторика
(А. Вдовин) Найдите количество четырехзначных чисел в девятеричной системе счисления, в которых есть ровна одна цифра 8, а сумма цифр слева от нее равна сумме цифр справа от нее.
Примечание: если слева или справа от 8 цифр нет, то сумма считается равной нулю
Решение
Ответ
Если 8 стоит на первой позиции, есть только одно подходящее число - 8000.
Если 8 стоит на второй позиции, то на первой может быть число от 1 до 7. Вариантов представить любое число, как сумму двух чисел на один больше, чем само число (например для 3 есть 4 способа 0 + 3 = 1 + 2 = 2 + 1 = 3 + 0 = 3). Поэтому таких чисел будет 2 + 3 + ... + 8 = (2 + 8) * 7 / 2 = 5 * 7 = 35.
Если 8 стоит на третьей позиции, то на последней может быть число от 0 до 7. Посколькую одна из цифр слева от 8 будет на первой позиции, то и способов представить цифру на последней, как сумму двух первых, будет меньше на 1 (теперь не будет способа 0 + x = x). Поэтому таких чисел будет 0 + 1 + 2 + ... + 7 = (0 + 7) * 8 / 2 = 7 * 4 = 28.
Если 8 стоит на четвертой позиции, то на первой должен тоже стоять 0, поэтому таких способов нет.
Ответ - это сумма всех рассмотренных вариантов 1 + 35 + 28 = 64.