Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один или два камня или увеличить количество камней в одной из куч на количество камней в другой куче. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из шести позиций: (11, 5), (12, 5), (15, 5), (10, 6), (10, 7), (10, 15). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 150. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в обеих кучах в сумме стало 150 или больше камней.

В начальный момент в первой куче был 61 камень, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 88.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 231. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 231 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 213.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 300. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 300 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было 20 камней, во второй куче - S камней; 1<=S<=279.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит лист бумаги, на котором написано двоичное число. Игроки ходят почереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может приписать справа или слева к имеющемуся на листе числу двоичную запись любого из чисел вида 2ⁿ + 1, где п - произвольное натуральное число, либо приписать справа или слева от имеющегося на листе числа его копию. Например, имея двоичное число 11001, за один ход можно получить путём копирования число 1100111001 или путём приписывания двоичной записи числа 3 числа 1100111 или 1111001.
Игра завершается в тот момент, когда количество единиц в двоичной записи числа на листе станет больше или равно 60. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший двоичное число, в записи которого использовано 60 или более единиц.
В начальный момент единиц в числе было S; 1 ≤ S ≤ 58.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя.
Игрокам доступны следующие ходы:
· Уменьшить количество камней в три раза,
· Убрать из кучи 10 камней
Например, из кучи из 25 камней можно получить кучу из 8 или 15 камней. В таком случае результат кратного уменьшения округляется вниз (берется целая часть).

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 10. Победителем считается игрок, совершивший последний ход
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Ваня. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень, два камня, три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Но нельзя повторять последний ход соперника. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 100. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший позицию, в которой в кучах будет 100 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было 2 камня, во второй куче – S камней, 1 ≤ S ≤ 97. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя.

Игрокам доступны следующие ходы:

· Кратно увеличить количество камней в куче,

· Добавить 10 камней,

· Добавить 2 камня.

За один ход можно добавить не более 80 камней и не менее одного. Например, из кучи из 10 камней можно получить кучу из 12, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 и 90 камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 166.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 247. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 247 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй куче - S камней; 1<=S<=229.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя.

Игрокам доступны следующие ходы:

· добавить в кучу один камень,

· добавить в кучу два камня,

· добавить в кучу 3 камня,

· увеличить количество камней вдвое,

· увеличить количество камней втрое,

· сделать количество камней в куче равное квадрату текущего количества.

Каждый ход может быть использован в игре единожды.

Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 250.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) 1 камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней, такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 5), (10, 6), (20, 10) и (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 223. В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй куче – S камней, 1 ≤ S ≤ 205.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может

а) добавить в кучу один камень;

б) добавить в кучу два камня;

в) увеличить количество камней в куче в два раза.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче не менее 22. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 22 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 21.

(Д. Малинов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками находится неориентированный граф, изначально в котором каждая вершина соединена с двумя другими. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в граф одну вершину и соединить ее ребрами максимум с двумя другими вершинами (по своему выбору либо с одной вершиной, либо с двумя вершинами) или удалить из графа одно ребро. Повторять последний ход соперника нельзя (то есть нельзя ходить так, как только что сходил соперник, при этом повторять свои предыдущие ходы и предыдущие ходы соперника можно).

Игра завершается в тот момент, когда сумма степеней вершин графа (степень вершины - количество выходящих из данной вершины рёбер) становится не менее 70. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший сумму степеней графа >= 70.

В начальный момент в графе было S ребер; 3 ≤ S ≤ 34.

Будем говорить, что игрок совершает неудачный ход, если у него есть ход, приводящий к победе, но при этом он ошибается, и в итоге на следующий ход побеждает его соперник.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите количество значений S, при которых такая ситуация возможна.

(PRO100 ЕГЭ) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может увеличить количество камней в куче в два раза или добавить в кучу два камня. Так же за всю игру можно только один раз сделать суперход - ход, после которого количество камней в куче не изменится, а очередь хода перейдёт к сопернику. То есть суперход может сделать один раз либо Ваня, либо Петя. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Выигрывает тот игрок, после хода которого количество камней в куче становится не менее 20.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 19. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Назовите минимальное значение S, при котором это возможно.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 211. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 211 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй куче — S камней; 1 ≤ S ≤ 193.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. При этом нельзя повторять ход, который этот же игрок делал на предыдущем ходу. Повторять чужие ходы и свои более старые ходы разрешается.

Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Если Петя получил кучу из 5 камней (добавил два камня), то следующим ходом Ваня может получить 6, 7 или 10 камней. Если Ваня добавил один камень и получил 6 камней, то вторым ходом Петя может получить 7 или 12 камней. Получить 8 камней Петя не может, так как для этого нужно добавить 2 камня, а Петя делал это на предыдущем ходу. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 21.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 21 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 20. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. Ходы, которые могут выполнить игроки, обозначены буквами:

А) добавить в одну из куч (по выбору игрока) один камень;

Б) добавить в одну из куч (по выбору игрока) два камня;

В) увеличить количество камней в одной из куч (по выбору игрока) в два раза.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в одной из куч становится не менее 50. Если при этом суммарное количество камней в двух кучах не превышает 109, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник, при этом считается, что противник сделал ход.

В начальный момент в первой куче было 24 камня, во второй S камней, 1 ≤ S ≤ 49.

Найдите три минимальных значения S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. Ходы, которые могут выполнить игроки, пронумерованы:

1) добавить в кучу один камень;

2) добавить в кучу два камня;

3) увеличить количество камней в куче в три раза.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 57.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 56.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в три раза. При этом нельзя повторять ход, который только что сделал второй игрок. Например, если в начале игры в куче 4 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 5, 6 или 12 камней. Если Петя добавил 1 камень и получил кучу из 5 камней, то следующим ходом Ваня может либо добавить 2 камня (и получить 7 камней), либо утроить количество камней в куче (их станет 15). Получить 6 камней Ваня не может, так как для этого нужно добавить 1 камень, а такой ход только что сделал Петя.

Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 62. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 62 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 61.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. При этом нельзя повторять ход, который только что сделал второй игрок. Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 6 камней. Если Петя добавил 1 камень и получил кучу из 4 камней, то следующим ходом Ваня может либо добавить 2 камня (и получить 6 камней), либо удвоить количество камней в куче (их станет 8). Получить 5 камней Ваня не может, так как для этого нужно добавить 1 камень, а такой ход только что сделал Петя.

Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 43. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 43 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 42.

(А. Калинин) После того, как все подарки были развезены, Дед Мороз со Снегурочкой решили отдохнуть и сыграть в игру. Перед ними лежат две кучи со снежками, и ходят они по очереди, первый ход делает Снегурочка. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один снежок или увеличить количество снежков в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 снежков; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 5), (20, 5), (10, 6), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество снежков. Игра завершается в тот момент, когда произведение количества снежков в кучах становится не менее 70. Если при этом произведение оказалось не более 110, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник. В начальный момент в первой куче было пять камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 65. Известно, что Дед Мороз выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Снегурочки. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.