Задачи 19–21

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в три раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 55.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 55 камней или больше.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 54.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #1028

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Ответ

Задача #1029

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #1030

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ
(В. Рыбальченко) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. На листе написано число. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
а) Увеличить число в 1.25 раза;
б) Увеличить число в 1.5 раза;
в) Увеличить число в 1.75 раза;
г) Увеличить число в 2.1 раза;
Если, после увеличения, число получается дробным, оно округляется в меньшую сторону
За игру число не может вырасти более чем на 215 от начального значения.
К примеру, после первого хода Пети число изменилось с 70 на 147, следующим ходом Ваня может получить только следующие числа: 183, 220, 257. (308 нельзя получить, так как игра началась из 70, максимальное число, которое можно получить в ходе игры 70+215 = 285).
Игра завершается в тот момент, когда число больше нельзя увеличить, побеждает игрок, сделавший последний ход.
В начальный момент число равно S: 4 ≤ S ≤ 172.

Задача #1005

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Определите минимальное значений S, при которых Ваня выигрывает своим первым ходом, независимо от того, как будет ходить Петя.

Ответ

Задача #1006

Задание 20
Новая
Открыть задачу
Для игры, описанной в предыдущем задании, определите максимальное и минимальное значения, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
В ответ укажите числа в убывающем порядке.

Ответ

Задача #1007

Задание 21
Новая
Открыть задачу
Для игры, описанной в задании 19, определите сколько существует S, при которых одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
В ответ укажите количество найденных значений.
Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней, не меньше одного камня в каждой. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в большую кучу любое количество камней от одного до трёх или удвоить количество камней в меньшей куче. Если кучи содержат равное количество камней, можно добавить в любую из них от одного до трёх камней, удвоение в этой ситуации запрещено.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в одной из куч достигает 40. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 40 или больше камней.

Задача #983

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Петя смог выиграть первым ходом. Какое наименьшее число камней могло быть суммарно в двух кучах?

Ответ

Задача #984

Задание 20
Новая
Открыть задачу

В игре, описанной в задании 19, в начальный момент в первой куче было 11 камней, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 39.
Укажите минимальное и максимальное из таких значений S, при которых Петя не может выиграть первым ходом, но у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Вани.
В ответе запишите сначала минимальное значение, затем максимальное.

Ответ

Задача #985

Задание 21
Новая
Открыть задачу

В игре, описанной в задании 19, в начальный момент в первой куче было 31 камень, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 39.
Найдите такое значение S, при котором у Вани есть стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволяла бы ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в большую кучу любое количество камней от одного до трёх или удвоить количество камней в меньшей куче. Если кучи содержат равное количество камней, можно добавить в любую из них от одного до трёх камней, удвоение в этой ситуации запрещено.
Игра завершается, когда общее количество камней в кучах становится более 46 Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший 47 или больше камней в двух кучах.

Задача #971

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Петя смог выиграть первым ходом. Какое наименьшее число камней могло быть суммарно в двух кучах?

Ответ

Задача #972

Задание 20
Новая
Открыть задачу

В игре, описанной в задании 19, в начальный момент в первой куче было 5 камней, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 41
Укажите минимальное и максимальное из таких значений S, при которых Петя не может выиграть первым ходом, но у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Вани.
В ответе запишите сначала минимальное значение, затем максимальное.

Ответ

Задача #973

Задание 21
Новая
Открыть задачу

В игре, описанной в задании 19, в начальный момент в первой куче было 22 камня, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 24
Найдите такое значение S, при котором у Вани есть стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволяла бы ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

(А.Богданов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из любой кучи один или три камня. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в одной из куч становится менее 10. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой меньше 10 камней. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #960

Задание 19
Новая
Открыть задачу

В начальный момент в кучах было по S камней. Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом

Ответ

Задача #961

Задание 20
Новая
Открыть задачу

(А.Богданов) Для игры, описанной в задании 19, в которой в первой куче было 13 камней, а во второй S, найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #962

Задание 21
Новая
Открыть задачу

(А.Богданов) Для игры, описанной в задании 19, в которой в первой куче было 13 камней, а во второй S, найдите два таких значения S, при которых одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Уровень ЕГЭ

(М. Шагитов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками находится стопка журналов. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить на стопку один или пять журналов, либо увеличить количество журналов на стопке в пять раз. У каждого игрока есть неограниченное количество журналов, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество журналов на стопке становится не менее 60. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший стопку из 60 журналов или больше. В начальный момент на стопке было S журналов; 1 ≤ S ≤ 59.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #940

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Ответ

Задача #941

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения , при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #942

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение , при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

(А. Рогов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 348.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 348 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 347.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #928

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Ответ

Задача #929

Задание 20
Новая
Открыть задачу

(А. Рогов) Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите два минимальных значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #930

Задание 21
Новая
Открыть задачу

(А. Рогов) Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Если найдено несколько значений S, в ответе запишите наименьшее из них.

Ответ
Уровень ЕГЭ

(Л. Шастин) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один или три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 159. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 159 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 130.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #908

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Ответ

Задача #909

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #910

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

(А.Богданов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может увеличить количество камней в куче на 1, 3 камня или удвоить количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 73. Игрок, первым получивший кучу из не менее 73 камней, считается победителем.
В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 72.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника

Задача #880

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите такое минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Ответ

Задача #881

Задание 20
Новая
Открыть задачу

(А.Богданов) Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответ в порядке возрастания.

Ответ

Задача #882

Задание 21
Новая
Открыть задачу

(А.Богданов) Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом;

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания

Ответ
Уровень ЕГЭ

(М. Ишимов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня либо увеличить количество камней в куче в пять раз. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится больше 419.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 420 камней или больше.
В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 419.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #856

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Ответ

Задача #857

Задание 20
Новая
Открыть задачу

(М. Ишимов) Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #858

Задание 21
Новая
Открыть задачу

(М. Ишимов) Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

(Грачев Н.) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня, или выполнить СУПЕРХОД - добавить в кучу сумму всех делителей S, исключая 1 и само число S. СУПЕРХОД можно выполнить всего лишь один раз за игру. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 43.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 43 камней или больше.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 42.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #832

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, при котором Ваня может выиграть своим первым ходом при неудачном ходе Пети.

Ответ

Задача #833

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите значение S, при котором Петя выигрывает своим вторым ходом при любой игре Вани.

Ответ

Задача #834

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите количество значений S, при которых Петя выигрывает своим первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

(В. Рыбальченко) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками стоит фигурка. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может

а) передвинуть фигурку на две клетки;
б) передвинуть фигурку на три клетки;
в) передвинуть фигурку в клетку со значением в два раза больше.

Задача #808

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Так игрок из клетки 5 может попасть в клетки 7, 8 и 10 используя соответствующие ходы.
Игра завершается в тот момент, когда фигурка попадает на клетку со значением 2200 или больше, побеждает игрок, сделавший последний ход.
В начальный момент фигурка может стоять на клетке со значением – S, 1 ≤ S ≤ 2199
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Назовите максимальное значение S, при котором это возможно.

Ответ

Задача #809

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Найдите минимальное и максимальное значение S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #810

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в три раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 43.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 43 камней или больше.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 42.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #776

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Ответ

Задача #777

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #778

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня, либо увеличить количество камней в куче в четыре раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 78. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 78 или более камня. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 77. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.


Задача #755

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, при котором Ваня может выиграть своим первым ходом после любого хода Пети.

Ответ

Задача #756

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два минимальных значения S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия вторым ходом, при этом он не может гарантировано выиграть за один ход.

Ответ

Задача #757

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

(Л. Шастин) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или пять камней либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 31.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 31 или более камня.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 30.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #730

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, при котором Петя может выиграть своим вторым ходом после неудачного хода Вани.

Ответ

Задача #731

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите количество значений S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, при этом он не может выиграть за один ход.

Ответ

Задача #732

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым или третьим ходом при любой игре Пети;

— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым или вторым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 255. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 255 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 237.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #701

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Ответ

Задача #702

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.


Ответ

Задача #703

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.


Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 443.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 443 камней или больше.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 442.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #687

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Ответ

Задача #688

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #689

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

(А.Богданов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может увеличить количество камней в куче на 1, 3 или 7. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится ровно 42. Игрок, первым получивший кучу из 42 камней, считается победителем. Игрок получивший после своего хода более 42 камней считается проигравшим и победителю засчитывается ход в 42. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #670

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите такое минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Ответ

Задача #671

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания

Ответ

Задача #672

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Найдите два наименьших значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу, количество камней, которое является делителем текущего количества камней в куче, кроме единицы и самого числа, если количество камней в куче является простым числом, то игрок может добавить только один камень. Например, пусть в куче было 8 камней. Тогда за один ход можно получить кучу из 10 камней или из 12 камней. Или пусть в куче было 7 камней. Тогда за один ход можно получить кучу из 8 камней. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Выигрывает тот игрок, после хода, которого количество камней в куче становится не менее 63. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 62. Укажите такое наименьшее значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.

Задача #647

Задание 19
Новая
Открыть задачу
Ответ

Задача #648

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее и наибольшее значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причем одновременно выполняются два условия:

- Петя не может выиграть за один ход;

- Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

В ответе запишите сначала наименьшее, затем наибольшее значение.

Ответ

Задача #649

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите наибольшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

- у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

- У Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Сложнее ЕГЭ

(Д. Статный) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два или четыре камня; увеличить количество камней в два раза.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней куче становится не менее 100.

Игрок, который получил 100 и более камней, считается проигравшим.

В начальный момент в первой куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 99.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #625

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, при котором Петя выигрывает, совершив всего лишь один ход, не используя умножение.

Ответ

Задача #626

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два значения S, при которых у Вани есть выигрышная стратегия, причём

одновременно выполняются два условия:

— Ваня не может гарантированно выиграть, совершив один ход;

— Ваня может выиграть, совершив не более двух ходов, независимо от того, как будет ходить Петя.

Ответы укажите в порядке возрастания.

Ответ

Задача #627

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимально и максимальное значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

— Петя не может выиграть, совершив один ход;

— Петя может выиграть, совершив не более двух ходов, независимо от того, как будет ходить Ваня.

В ответе укажите сначала минимальное, а затем - максимальное.

Ответ
Показаны 101-120 из 157
← Назад
1 2 3 … 5 6 7 8
Вперёд →