Задачи 19–21

Уровень ЕГЭ

(PRO100 ЕГЭ) Три игрока, Петя, Ваня и Екатерина, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Екатерина, второй – Петя, третий – Ваня. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 30. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 30 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 29.

Задача #1449

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом. При каком минимальном значении S это возможно?

Задача #1450

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Екатерина и Ваня сговорились. Они хотят, чтобы Петя не выиграл. Найдите минимальное значение S, при котором у них гарантировано получится играть так, чтобы Петя не смог выиграть.

Задача #1451

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Екатерина и Петя сговорились. Они хотят, чтобы Екатерина победила своим вторым ходом.

Сколько существует значений S, при которых Екатерина и Петя гарантировано смогут осуществить их план.

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 129. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 129 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 128.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #1394

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задача #1395

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задача #1396

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Если найдено несколько значений S, в ответе запишите минимальное из них

Уровень ЕГЭ

(Л. Шастин) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу от 1 до 5 камней либо увеличить количество камней в куче в 2 раза. Для того, чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 100.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, состоящую из 100 или более камней.
В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 99.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #1370

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задача #1371

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее и наибольшее значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задача #1372

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите такое значение S, при котором одновременно выполняются два
условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Если найдено несколько значений S, в ответе запишите наименьшее из них.

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня либо увеличить количество камней в куче в четыре раза. Для того, чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 111.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, состоящую из 111 или более камней.
В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 110.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #1338

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задача #1339

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два таких минимальных значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задача #1340

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два
условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Если найдено несколько значений S, в ответе запишите наименьшее из них.

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня либо увеличить количество камней в куче в четыре раза. Для того, чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 59.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, состоящую из 59 или более камней.
В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 58.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #1314

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задача #1315

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два таких минимальных значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задача #1316

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два
условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Если найдено несколько значений S, в ответе запишите наименьшее из них.

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в три раза. Для того, чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 88.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, состоящую из 88 или более камней.
В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 87.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #1290

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задача #1291

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два таких минимальных значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задача #1292

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два
условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Если найдено несколько значений S, в ответе запишите наименьшее из них.

Уровень ЕГЭ

(А.Богданов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может увеличить количество камней в куче на 1 камень, 2 камня или утроить количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 37. Игрок, первым получивший кучу из не менее 37 камней, считается победителем. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #1266

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите такое минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задача #1267

Задание 20
Новая
Открыть задачу

(А.Богданов) Найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания

Задача #1268

Задание 21
Новая
Открыть задачу

(А.Богданов) Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два или четыре камня, либо увеличить количество камней в куче в три раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 82. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 82 или более камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 81. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #1242

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, при котором Ваня может выиграть своим первым ходом после неудачного хода Пети.

Задача #1243

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия вторым ходом, при этом он не может гарантировано выиграть за один ход.

Задача #1244

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите наибольшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня, или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (12, 5), (20, 5), (10, 7), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда произведение количеств камней в кучах становится не менее 123. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой произведение числа камней в кучах будет 123 или более.
В начальный момент в первой куче было 3 камня, во второй куче - S камней; 1 ≤ S ≤ 40.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #1219

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Найдите максимальное значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом после неудачного хода Пети.

Задача #1220

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите два наибольших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения укажите в порядке возрастания.

Задача #1221

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите наибольшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. У игроков есть табличка, на которой записана пара неотрицательных целых чисел. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может изменить любое число, выполнив над ним одно из двух действий: прибавить к значению 3 или умножить на 2.

Так, например, если перед ходом игрока была позиция (3, 5), то после его хода будет позиция (6, 5), (3, 8) или (3, 10). Игра завершается в тот момент, когда одно из чисел становится не менее 50. Игра начинается из позиции (22, S), при S < 28.

Задача #1194

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, при котором Ваня может выиграть своим первым ходом при любой игре Пети

Задача #1195

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.

Найдите минимальное и максимальное значения S, когда Петя имеет выигрышную стратегию в два хода, при этом не может выиграть своим первым ходом.

Задача #1196

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.

Найдите максимальное значение S, когда Ваня не имеет выигрышной стратегии в один ход, но имеет выигрышную стратегию не более чем в два хода.

Уровень ЕГЭ

(А.Богданов) Два игрока, Папа и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Папа. За один ход игрок может добавить в кучу семь камней или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 100. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 100 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 99.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #1170

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите максимальное значение S, при котором Папа может выиграть своим первым ходом, но поддается и Ваня выигрывает своим первым ходом.

Задача #1171

Задание 20
Новая
Открыть задачу

(А.Богданов) Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Папы нет выигрышной стратегии. При этом, Ваня может выиграть своим первым ходом, но ошибается, и Папа, не имея возможности поддаться, вынужден выиграть.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задача #1172

Задание 21
Новая
Открыть задачу

(А.Богданов) Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Папы;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Если найдено несколько значений S, в ответе запишите минимальное из них.

Уровень ЕГЭ

(Е. Джобс) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи 5 камней или уменьшить количество камней в 3 раза. Если количество камней некратно 3, то в результате хода "уменьшить в 3 раза" остается количество камней равное результату целочисленного деления текущего количества на 3.
Например, из кучи из 19 камней можно получить кучу из 14 камней или кучу из 6 камней. Ход разрешается делать только в том случае, если количества камней в куче достаточно для его совершения.
Игра завершается в тот момент, когда из кучи убирается последний камень.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. убравший из кучи последний камень.
В начальный момент в куче было S камней; S > 0.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #1146

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите максимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задача #1147

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее и наибольшее значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задача #1148

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите максимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Уровень ЕГЭ

(М. Шагитов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи один камень, либо, если в куче 4 или больше камней, он может убрать четыре камня, либо, если количество камней в куче кратно трем, он может уменьшить количество камней в куче в три раза.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 1.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 1 камня или меньше.

В начальный момент в куче было S камней; 4 ≤ S ≤ 100.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #1127

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задача #1128

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задача #1129

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Уровень ЕГЭ

(М. Шагитов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в три раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 175. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 175 камней или больше.

В начальный момент в первой куче было 19 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 154.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #1115

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Задача #1116

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденное значение запишите в ответе.

Задача #1117

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Уровень ЕГЭ

(Л. Шастин) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.Игра завершается в тот момент, когда произведение количеств камней в кучах становится не менее 455. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой произведение количества камней в кучах будет больше либо равно 455.

В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 90.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #1066

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Задача #1067

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите два наибольших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задача #1068

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Уровень ЕГЭ

(В. Рыбальченко) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
а) Уменьшить количество камней на 3;
б) Уменьшить количество камней на 2;
в) Уменьшить количество камней в 4 раза;
Шаг «в» можно использовать только в случае, когда в куче число камней кратно 4.
К примеру: из 80 камней можно получить 78, 77 и 20; из 85 камней можно получить 83 и 82.
Игра завершается в том случае, когда в куче остается меньше 32 камней. Победителем считается игрок, совершивший последний ход.
В начальный момент в куче было S камней (S > 31)

Задача #1053

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Определите максимальное значений S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом, независимо от того, как будет ходить Петя.

Задача #1054

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в предыдущем задании, определите максимальное и минимальное значения, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
В ответ укажите числа в возрастающем порядке.

Задача #1055

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, определите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в три раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 55.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 55 камней или больше.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 54.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #1028

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задача #1029

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задача #1030

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Уровень ЕГЭ
(В. Рыбальченко) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. На листе написано число. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
а) Увеличить число в 1.25 раза;
б) Увеличить число в 1.5 раза;
в) Увеличить число в 1.75 раза;
г) Увеличить число в 2.1 раза;
Если, после увеличения, число получается дробным, оно округляется в меньшую сторону
За игру число не может вырасти более чем на 215 от начального значения.
К примеру, после первого хода Пети число изменилось с 70 на 147, следующим ходом Ваня может получить только следующие числа: 183, 220, 257. (308 нельзя получить, так как игра началась из 70, максимальное число, которое можно получить в ходе игры 70+215 = 285).
Игра завершается в тот момент, когда число больше нельзя увеличить, побеждает игрок, сделавший последний ход.
В начальный момент число равно S: 4 ≤ S ≤ 172.

Задача #1005

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Определите минимальное значений S, при которых Ваня выигрывает своим первым ходом, независимо от того, как будет ходить Петя.

Задача #1006

Задание 20
Новая
Открыть задачу
Для игры, описанной в предыдущем задании, определите максимальное и минимальное значения, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
В ответ укажите числа в убывающем порядке.

Задача #1007

Задание 21
Новая
Открыть задачу
Для игры, описанной в задании 19, определите сколько существует S, при которых одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
В ответ укажите количество найденных значений.
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней, не меньше одного камня в каждой. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в большую кучу любое количество камней от одного до трёх или удвоить количество камней в меньшей куче. Если кучи содержат равное количество камней, можно добавить в любую из них от одного до трёх камней, удвоение в этой ситуации запрещено.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в одной из куч достигает 40. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 40 или больше камней.

Задача #983

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Петя смог выиграть первым ходом. Какое наименьшее число камней могло быть суммарно в двух кучах?

Задача #984

Задание 20
Новая
Открыть задачу

В игре, описанной в задании 19, в начальный момент в первой куче было 11 камней, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 39.
Укажите минимальное и максимальное из таких значений S, при которых Петя не может выиграть первым ходом, но у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Вани.
В ответе запишите сначала минимальное значение, затем максимальное.

Задача #985

Задание 21
Новая
Открыть задачу

В игре, описанной в задании 19, в начальный момент в первой куче было 31 камень, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 39.
Найдите такое значение S, при котором у Вани есть стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволяла бы ему гарантированно выиграть первым ходом.

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в большую кучу любое количество камней от одного до трёх или удвоить количество камней в меньшей куче. Если кучи содержат равное количество камней, можно добавить в любую из них от одного до трёх камней, удвоение в этой ситуации запрещено.
Игра завершается, когда общее количество камней в кучах становится более 46 Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший 47 или больше камней в двух кучах.

Задача #971

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Петя смог выиграть первым ходом. Какое наименьшее число камней могло быть суммарно в двух кучах?

Задача #972

Задание 20
Новая
Открыть задачу

В игре, описанной в задании 19, в начальный момент в первой куче было 5 камней, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 41
Укажите минимальное и максимальное из таких значений S, при которых Петя не может выиграть первым ходом, но у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Вани.
В ответе запишите сначала минимальное значение, затем максимальное.

Задача #973

Задание 21
Новая
Открыть задачу

В игре, описанной в задании 19, в начальный момент в первой куче было 22 камня, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 24
Найдите такое значение S, при котором у Вани есть стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволяла бы ему гарантированно выиграть первым ходом.

Показаны 81-100 из 153
← Назад
1 2 3 4 5 6 7 8
Вперёд →