Задачи 19–21

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень больше, чем убирается). Например, пусть в одной куче 6, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 9), (3, 9), (6, 8), (6, 5). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 20. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 20 или меньше камней. В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче – S камней, S > 10.

Задача #6242

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Найдите значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.

Ответ

Задача #6243

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное и максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #6244

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч один камень или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень больше, чем убирается). Например, пусть в одной куче 6, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (5, 9), (3, 9), (6, 8), (6, 5). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 32. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 32 или меньше камней. В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче – S камней, S > 22.

Задача #6245

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Найдите значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.

Ответ

Задача #6246

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное и максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #6247

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в любую кучу один камень или увеличить количество камней в любой куче в четыре раза. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в кучах становится не менее 125. В начальный момент в первой куче было 7 камней, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 117.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Назовите минимальное значение S, при котором это возможно.

Задача #6248

Задание 19
Новая
Открыть задачу


Ответ

Задача #6249

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное и максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #6250

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в любую кучу один камень или увеличить количество камней в любой куче в четыре раза. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в кучах становится не менее 133. В начальный момент в первой куче было 7 камней, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 125.

Задача #6251

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Назовите минимальное значение S, при котором это возможно.

Ответ

Задача #6252

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры из задания 19 определите минимальное и максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #6253

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры из задания 19 определите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Сложнее ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две карточки с двузначными числами. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может заменить одну карточку на карточку с меньшим значением по правилу – число, написанное на новой карточке, должно быть меньше заменяемого и формируется по правилу – старший разряд – одна из цифр заменяемого числа, младший разряд – одна из цифр второго числа. Например, пусть игра находится в позиции (25, 34), игрок может сделать из нее ход в одну из позиций (23, 34), (24, 34), (25, 32). Ход в позицию (25, 35) запрещен, так как 35 больше 34. Игра завершается в тот момент, когда игрок не может заменить ни одно из чисел. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.


Задача #6254

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня побеждает своим первым ходом независимо от игры Пети. Определите максимальные числа, которые могут быть записаны на начальных карточках, в порядке возрастания.

Ответ

Задача #6255

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.


Кто из игроков выигрывает при начале игры из позиции (23, 31)? В качестве ответа укажите два числа – число на первой карточке и число на второй карточке, которые получает выигрывающий игрок своим первым ходом.

Ответ

Задача #6256

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, определите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию при игре из позиции (52, 31). Найдите позицию, в которую нужно прийти выигрывающему игроку первым ходом. Если таких позиций несколько, приведите вершину с максимальной суммой значений.


В качестве ответа приведите два числа – сначала число, записанное на первой карточке, затем число, записанное на второй карточке.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (13, 5), (20, 5), (10, 8), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 75. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 75 или больше камней. В начальный момент в первой куче было десять камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 64. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.


Задача #6257

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Ответ

Задача #6258

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.


Известно, что Петя выиграл своим вторым ходом после неудачного хода Вани. Найдите количество значений S для такого случая и минимальное из них.

Ответ

Задача #6259

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите сколько существует значений S, при которых одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Сложнее ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит 2 кучи камней, S1 в первой и S2 во второй – (S1, S2). Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может переложить от 1 до 3 камней, из большей кучи в меньшую. При этом разница между S1 и S2 обязательно должна сократиться. Например, из позиции (5, 8) запрещено приходить в позицию (8, 5) или (9, 4).


Игра заканчивается, когда невозможно совершить следующий ход.

Проигравшим считается игрок, сделавший последний ход.


Задача #6260

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Кто из игроков выигрывает при начале игры в позиции (8, 3).

Ответ

Задача #6261

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.


Кто из игроков выигрывает при начале игры из позиции (17, 7). В качестве ответа приведите позицию, в которую необходимо сделать первый ход выигрывающему игроку. Сначала укажите количество камней с большим количеством, затем с меньшим.

Ответ

Задача #6262

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.


Кто из игроков выигрывает при начале игры из позиции (18, 6). В качестве ответа приведите позицию, в которую необходимо сделать первый ход выигрывающему игроку. Сначала укажите количество камней с большим количеством, затем с меньшим.

Ответ
Сложнее ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча, состоящая из S конфет. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может съесть не более половины от всех оставшихся конфет, но не менее одной конфеты.

Игра завершается в тот момент, когда в куче не остается ни одной конфеты. Победителем считается игрок, который съел последнюю конфету.


Задача #6263

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите максимальное двузначное значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия.

Ответ

Задача #6264

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.


Укажите минимальное трехзначное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия.

Ответ

Задача #6265

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.


Сколько существует трехзначных значений S, при которых выигрышная стратегия есть у Вани?

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может

а) добавить в кучу два камня;

б) увеличить количество камней в куче в три раза.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 36. Если при этом в куче оказалось не более 85 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 35.


Задача #6266

Задание 19
Новая
Открыть задачу

У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 30, 32? В качестве ответа укажите два имени – сначала для S = 30, затем для S = 32.

Ответ

Задача #6267

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.


У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 8, 10? В качестве ответа укажите два имени – сначала для S = 8, затем для S = 10.

Ответ

Задача #6268

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.


У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 6?

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 79. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 79 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 9 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 69.


Задача #6269

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Ответ

Задача #6270

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.


Найдите минимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Ответ

Задача #6271

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.


Найдите два значения S, при которых одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 63. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 63 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 57.


Задача #6272

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Ответ

Задача #6273

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.


Найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #6274

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.


Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Сложнее ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру. В начале игры перед игроками лежит игровая кость (кубик с точками на гранях, количество точек от 1 до 6). Начальной позицией считается грань, находящаяся сверху. Игроки совершают ходы по очереди, первый ход делает Петя.

За один ход игрок может положить кость, на верхней грани которой будет на одну точку больше или на одну точку меньше. Для граней с 1 и 6 точками возможен только 1 ход – 2 точки и 5 точек, соответственно. Выигрывает игрок, после хода которого суммарное количество точек на всех выложенных костях будет не меньше N.

Задача #6275

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Найдите все значения N, при которых Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Петя, если известно, что игра начинается с грани с 5 точками. В качестве ответа укажите два значения – минимальное и максимальное значения N.

Ответ

Задача #6276

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.

Игра начинается с грани с 4 точками. Найдите минимальное и максимальное значения N, при которых у Пети есть выигрышная стратегия в два хода.

Ответ

Задача #6277

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.

Игра начинается с грани с 1 точкой. Найдите минимальное и максимальное значения N, при которых у Вани есть выигрышная стратегия в два хода.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Первый ход делает Петя, игроки ходят по очереди один за другим. Игрок может либо увеличить количество камней в любой из куч на 3, либо увеличить количество вдвое. Игра завершается, когда хотя бы в одной из куч количество камней становится не менее 21.


Обозначим, как (х, у) игровую позицию, когда в первой куче х камней, во второй – у. Количество камней в обоих кучах в начале игры положительное.


Так, если игрок делает ход из позиции (3, 6), то он может получить одну из трех позиций (6, 6), (3, 9), (3, 12).


Известно, что игра началась из позиции (5, S). Найдите все значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия в два хода.


Задача #6278

Задание 19
Новая
Открыть задачу

В качестве ответа укажите наименьшее и наибольшее значения S.

Ответ

Задача #6279

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.


Известно, что в начале игры в первой куче было 4 камня. Укажите минимальное количество камней во второй куче, если известно, что в таком случае Ваня имеет выигрышную стратегию в два или три хода.

Ответ

Задача #6280

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.


Известно, что Петя имеет выигрышную стратегию при игре из позиции (3, S). Найдите все возможные значения S, если известно. Что Петя не может выиграть своим первым ходом? Запишите найденные значения в порядке возрастания без разделителей.

Пример: значения S 5, 8, 9 запишутся как 589.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней, количество которых известно. Первый ход делает Петя, игроки ходят по очереди один за другим. Игрок может либо увеличить количество камней на 2, либо увеличить количество втрое. Игра завершается, когда игрок приходит в кучу из N или более камней.

Так, например, если перед ходом игрока была куча из 20 камней, то своим ходом он может сделать кучу из 22 или 60 камней.

Известно, что в начале игры в куче было 15 камней. Найдите все значения N, в которых должна закончиться игра, если известно, что Ваня имеет выигрышную стратегию своим первым ходом, то есть может выиграть при любой игре Пети.

Задача #6281

Задание 19
Новая
Открыть задачу

В качестве ответа укажите наименьшее и наибольшее конечные значения.

Ответ

Задача #6282

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.

Известно, что при игре из кучи, в которой было 10 камней, Петя имеет выигрышную стратегию своим вторым ходом, но не может гарантированно победить своим первым ходом. Укажите минимальное и максимальное значения N, при которых это возможно.

Ответ

Задача #6283

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.

Известно, Ваня выигрывает своим первым или вторым ходом при любой игре Пети, при этом Ваня не имеет гарантированной стратегии победы своим первым ходом. Игра ведется из кучи, в которой 5 камней. Сколько существует значений N, при которых это возможно?

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. У игроков есть табличка, на которой записана пара неотрицательных целых чисел. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может заменить любое число на сумму обоих чисел.


Так, например, если перед ходом игрока была позиция (3, 5), то после его хода будет позиция (8, 5) или (3, 8). Игра завершается в тот момент, когда сумма чисел пары становится не менее 44.


Задача #6284

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, при котором Петя может выиграть своим первым ходом из позиции (11, S).

Ответ

Задача #6285

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.


Найдите минимальное значение S, когда при игре из позиции (11, S) Ваня выигрывает первым ходом независимо от игры Пети.

Ответ

Задача #6286

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.


Известно, что разница между написанными на карточке числами минимальная. Укажите два значения – числа на карточке в порядке возрастания – при которых Петя имеет выигрышную стратегию в два хода. Если таких пар несколько, укажите ту, сумма значений в которой минимальная.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 87. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 87 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 9 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 77.

Задача #6287

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Ответ

Задача #6288

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос. Найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #6289

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Сложнее ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча, состоящая из S конфет. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может съесть не более половины от всех оставшихся конфет, но не менее одной конфеты.

Игра завершается в тот момент, когда в куче не остается ни одной конфеты. Победителем считается игрок, который съел последнюю конфету.

Задача #6290

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что выиграл Ваня. Укажите минимальное двухзначное число, при игре из которого у Вани есть выигрышная стратегия.

Ответ

Задача #6291

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.

Какое максимальное количество ходов может совершить игрок, чтобы победить при S= 20 ? Назовите имя этого игрока.

Найденные значения запишите в ответе – сначала имя игрока, имеющего выигрышную стратегию, затем количество его ходов.

Ответ

Задача #6292

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, большее 40, при котором выигрышную стратегию имеет Ваня.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может

а) добавить в кучу один камень;

б) добавить в кучу два камня;

в) увеличить количество камней в куче в три раза.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче превышает 73. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 74 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 73.

Задача #6293

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня может гарантированно выиграть своим первым ходом. Укажите значение S, с которого началась игра..

Ответ

Задача #6294

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Укажите три значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть первым ходом, но Петя может выиграть своим вторым ходом, независимо от того, как будет ходить Ваня. В ответе запишите полученные значения в порядке возрастания.

Ответ

Задача #6295

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Найдите такое значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или пять камней или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 20 или 45 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 41. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 41 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 40.

Задача #6296

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выигрывает своим первым ходом после любого хода Пети. Укажите значение S, с которого началась игра.

Ответ

Задача #6297

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Найдите два значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #6298

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Найдите два значения S, при которых одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 59. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 59 или больше камней.


В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 53.


Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Задача #6299

Задание 19
Новая
Открыть задачу


Ответ

Задача #6300

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Найдите минимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Ответ

Задача #6301

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Найдите два значения S, при которых одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.


Ответ
Показаны 221-240 из 242
← Назад
1 2 3 … 11 12 13
Вперёд →