Задачи 19–21

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Игроки передвигают фишку по целочисленным координатам числовой оси. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может сдвинуть фишку, увеличив её координату либо на 3, либо в два раза. Например, если фишка находится в точке с координатой 5, за один ход можно передвинуть фишку в точку с координатой 8 или 10. Игра завершается в тот момент, когда координата точки, в которой находится фишка, станет больше или равна 100. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первый сдвинувший фишку в точку, координата которой не менее 100.

В начальный момент координата точки с фишкой была S; 1 ≤ S ≤ 91.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от дальнейшей игры противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода

Задача #6182

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Ответ

Задача #6183

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите такие значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

– Петя не может выиграть за один ход;

– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Из всех найденных значений запишите в ответе минимальное и максимальное в порядке возрастания.

Ответ

Задача #6184

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в любую кучу один камень или добавить добавить в любую кучу столько камней, сколько их в данный момент в другой куче. Игра завершается в тот момент, когда общее количество камней в двух кучах становится не менее 79. В начальный момент в первой куче было 9 камней, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 69.

Задача #6185

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Назовите минимальное значение S, при котором это возможно.

Ответ

Задача #6186

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Найдите минимальное и максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #6187

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в любую кучу один камень или добавить в любую кучу столько камней, сколько их в данный момент в другой куче. Игра завершается в тот момент, когда общее количество камней в двух кучах становится не менее 68. В начальный момент в первой куче было 8 камней, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 59.

Задача #6188

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Назовите минимальное значение S, при котором это возможно.

Ответ

Задача #6189

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Найдите минимальное и максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #6190

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. У игроков есть табличка, на которой записана пара неотрицательных целых чисел. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может заменить любое число на сумму обоих чисел.

Так, например, если перед ходом игрока была позиция (3, 5), то после его хода будет позиция (8, 5) или (3, 8). Игра завершается в тот момент, когда сумма чисел пары становится не менее 45.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.


Задача #6191

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что игра началась в позиции (7, S), при этом Ваня одержал победу после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором это возможно.

Ответ

Задача #6192

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Известно, что Петя выиграл своим вторым ходом при игре из позиции (6, S).


Найдите значения S, при которых описанный случай гарантирован при правильной игре Пети. В качестве ответа укажите сначала минимальное, затем максимальное значение.

Ответ

Задача #6193

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Известно, что при игре из позиции (S, S) Ваня выиграл своим вторым ходом? Найдите минимальное значение S, при котором это возможно при любой игре Пети.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может увеличить количество камней в одной из куч на 3 камня или в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (13, 5), (20, 5), (10, 8), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.


Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 30. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 30 или больше камней.


В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 24.


Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.


Задача #6194

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл после неудачного хода Пети. Назовите минимальное значение S, при котором такая игровая ситуация возможна.

Ответ

Задача #6195

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, необходимо найти количество значений S для начальной позиции, при которых у Пети есть выигрышная стратегия. При этом он однозначно может победить своим вторым ходом.

Ответ

Задача #6196

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, необходимо найти минимальное значение S, при котором Ваня имеет выигрышную стратегию не более, чем в два хода. При этом у Вани нет стратегии, которая позволила бы ему гарантировано выиграть своим первым ходом при любой игре противника.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может увеличить количество камней в одной из куч на 3 камня или в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (13, 5), (20, 5), (10, 8), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.


Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 100. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 100 или больше камней.


Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.


Задача #6197

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Игра начинается в одной из позиций (30, 30), (32, 29), (34, 24). При игре из каких позиций выигрывает Ваня? В качестве ответа приведите суммарное количество камней в найденных позициях. Например, если бы ответом были позиции (10, 5) и (11, 8), ответом на задачу будет число 34.

Ответ

Задача #6198

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, необходимо исследовать позиции (27, 30), (29, 29), (24, 31).


При игре из каких позиций выигрывает Петя? В качестве ответа приведите суммарное количество камней в найденных позициях.

Ответ

Задача #6199

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, необходимо исследовать позиции (25, 25), (26, 26), (27, 27).

При игре из каких позиций выигрывает Ваня? В качестве ответа приведите суммарное количество камней в найденных позициях.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может увеличить количество камней в два раза или в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.


Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 100. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в куче будет 100 или больше камней. В начальный момент в куче S камней; 1 ≤ S ≤ 99.


Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.


Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети.


Задача #6200

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Ответ

Задача #6201

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите все значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

В ответе запишите сначала минимальное, затем максимальное найденные значения.

Ответ

Задача #6202

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:


– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;


– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Сложнее ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит 2 кучи камней, S1 в первой и S2 во второй – (S1, S2). S1 + S2 – четное число. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может переложить не больше трети камней из большей кучи в меньшую.


Игра заканчивается, когда в обоих кучах стало одинаковое количество камней. Игрок, сделавший последний ход, считается победителем.


Задача #6203

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Сколько камней должно быть в меньшей куче, чтобы Ваня имел выигрышную стратегию? Если известно, что суммарное количество камней в начале игры – 24.

Ответ

Задача #6204

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.


Сколько существует значений S2, при которых Ваня имеет выигрышную стратегию и значение S1 = 7?

Ответ

Задача #6205

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.


Известно, что значение S1 < S2. Сколько существует пар (S1, S2), при которых выигрывает Ваня, количество камней в одной из куч четное и суммарное количество камней в кучах находится в диапазоне [40; 50].

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в любую кучу один камень или увеличить количество камней в любой куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда сумма камней в кучах становится не менее 30. В начальный момент в первой куче было K камней, а во второй – S камней, 1 ≤ K ≤ 29, 1 ≤ S ≤ 29.

Задача #6206

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Сколько существует пар (S; K), таких что Ваня выигрывает первым ходом при любой игре Пети?

Ответ

Задача #6207

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.


При K=6, найдите минимальное и максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания

Ответ

Задача #6208

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для условия игры из задания 19, ответьте на вопрос.


Сколько существует пар (S;K), при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Сложнее ЕГЭ

(Д.Ф. Муфаззалов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча, состоящая из S конфет. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может съесть не более пяти, но не менее одной конфеты, а такжесъесть половину конфет, если число конфет четное. Съесть можно только целое количество конфет. Игра завершается в тот момент, когда в куче останется менее десяти конфет. Победителем считается игрок, который сделал последний ход.

Задача #6209

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Укажите значение S, при котором Ваня выиграет первым ходом при любой игре Пети.

Ответ

Задача #6210

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, укажите минимальное и максимальное S, при которых Петя не может выиграть первым ходом, но может выиграть вторым ходом при любом ходе Вани. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #6211

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, укажите такое значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и при этом у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 77. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший позицию, в которой в кучах будет 77 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче – S камней, 1 ≤ S ≤ 69. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #6212

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Назовите минимальное значение S, при котором это возможно.

Ответ

Задача #6213

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть первым ходом, но может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #6214

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, укажите минимальное значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и при этом у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в три раза. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 49. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший позицию, в которой в кучах будет 49 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй куче – S камней, 1 ≤ S ≤ 43. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #6215

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Назовите минимальное значение S, при котором это возможно.

Ответ

Задача #6216

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть первым ходом, но может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #6217

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, укажите такое значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и при этом у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в три раза. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 45. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший позицию, в которой в кучах будет 45 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было 4 камня, во второй куче – S камней, 1 ≤ S ≤ 40. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #6218

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Назовите минимальное значение S, при котором это возможно.

Ответ

Задача #6219

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть первым ходом, но может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #6220

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, укажите такое значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и при этом у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

(А.Н. Носкин) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 41. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший позицию, в которой в кучах будет 41 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было 9 камней, во второй куче – S камней, 1 ≤ S ≤ 31. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #6221

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Назовите минимальное значение S, при котором это возможно.

Ответ

Задача #6222

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть первым ходом, но может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #6223

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, укажите минимальное значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и при этом у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

(А.Н. Носкин) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 40. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т. е. первым получивший позицию, в которой в кучах будет 40 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было 9 камней, во второй куче – S камней, 1 ≤ S ≤ 30. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #6224

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Назовите минимальное значение S, при котором это возможно.

Ответ

Задача #6225

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть первым ходом, но может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #6226

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, определите сколько существует значений S, при которых у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и при этом у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

(С.А. Скопинцева) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может увеличить количество камней в куче в три раза, добавить в кучу один камень, или 3 камня, при этом после каждого хода в куче должно быть нечетное количество камней. Например, пусть в куче было 8 камней. Тогда за один ход можно получить кучу из 9 камней или из 11 камней (увеличить количество камней в три раза нельзя, т.к. после этого хода получится четное количество камней – 24). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 51.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 50. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #6227

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Назовите минимальное значение S, при котором это возможно.

Ответ

Задача #6228

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наибольших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть первым ходом, но может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #6229

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, определите сколько существует значений S, при которых у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Пети.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может

а) добавить в кучу один камень;

б) добавить в кучу два камня;

в) добавить в кучу три камня;

г) увеличить количество камней в куче в два раза.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче превышает 33. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 34 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 33.

Задача #6230

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Найдите значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.

Ответ

Задача #6231

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное и максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #6232

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может

а) добавить в кучу один камень;

б) добавить в кучу два камня;

в) увеличить количество камней в куче в три раза.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче превышает 64. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 65 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 64.

Задача #6233

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Найдите значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.

Ответ

Задача #6234

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное и максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ

Задача #6235

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может

а) добавить в кучу один камень;

б) увеличить количество камней в куче в два раза;

в) увеличить количество камней в куче в три раза.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 36. Если при этом в куче оказалось не более 60 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник (при этом победа учитывается как ход противника). В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 35.

Задача #6236

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Найдите минимальное значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.

Ответ

Задача #6237

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, определите сколько существует значений S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Ответ

Задача #6238

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное и максимальное значения S, при которых одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может

а) добавить в кучу один камень;

б) увеличить количество камней в куче в два раза;

в) увеличить количество камней в куче в три раза.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 43. Если при этом в куче оказалось не более 72 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник (при этом победа учитывается как ход противника). В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 42.

Задача #6239

Задание 19
Новая
Открыть задачу

Найдите минимальное значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.

Ответ

Задача #6240

Задание 20
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, определите сколько существует значений S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Ответ

Задача #6241

Задание 21
Новая
Открыть задачу

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное и максимальное значения S, при которых одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Показаны 201-220 из 242
← Назад
1 2 3 … 10 11 12 13
Вперёд →