Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) шесть каменей или сделать количество камней в любой из куч равным квадрату текущего количества. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (16, 5), (100, 5), (10, 11), (10, 25). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 200. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 200или больше камней.

В начальный момент в первой куче было три камня, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 194. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит набор карт. За один ход игрок берёт одну из карт и кладёт её в стопку поверх предыдущей. Игроки ходят по очереди, первую карту кладёт Петя. При этом игрок может положить только карты того же достоинства или на единицу старше (за исключением первой карты). Игра завершается в тот момент, когда положить новую карту в стопку становится невозможно. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть положивший последнюю карту в стопку.

Перед игроками лежат 1 семёрка, 3 восьмёрки и 2 девятки. С какой карты Петя должен начать игру, чтобы гарантированно выиграть.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может

а) добавить в кучу два камня;

б) увеличить количество камней в куче в три раза.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 50. Если при этом в куче оказалось не более 119 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник, при этом считается, что противник сделал свой ход. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 49.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество в 3 раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16 или 45 камней. Для того, чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 2163. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первый получивший кучу, в которой будет 2163 камня или более.

В начальный момент в куче было S камней, 1⩽S⩽2162.

(А. Богданов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит три кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч 3, 13 или 23 камня. Игра завершается в тот момент, когда в сумме в кучах будет не менее 73 камней. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в кучах было (2, S, 2S) камней, 1 ≤ S ≤ 23.

(А.Г. Минак) Два игрока, Кирилл и Сергей, играют в следующую игру. На листе бумаги приведена таблица, представленная одной строкой из 26 ячеек. Игроки заполняют ячейки таблицы слева направо, подряд, по очереди. В первой ячейке записано число 0. Первый ход делает Кирилл. За один ход игрок может увеличить предыдущее (слева) число на 1, 2, 3 или 4. Например, следующим, за числом 9 можно записать 10, 11, 12 или 13.

Игра завершается победой игрока в тот момент, когда он записал натуральное число X (5 ≤ X ≤ 25).

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, то есть не гарантируют выигрыш независимо от игры противника.

Выполните следующие задания.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может

а) забрать из кучи один камень;
б) забрать из кучи два камня;
в) забрать из кучи четыре камня.

Если камней в куче меньше, чем забирается, то такой ход выполнить нельзя. Игрок, забравший последний камень выигрывает. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 15.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может

а) добавить в кучу один камень;

б) добавить в кучу два камня;

в) добавить в кучу три камня.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче превышает 20. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 21 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 20.

(А. Богданов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч 1 или 2 камня. Игра завершается в тот момент, когда в сумме в кучах будет 13 камней. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в кучах было (3, S) камней, 1 ≤ S ≤ 9.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 29. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 29 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 28.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня, или увеличить количество камней в куче вдвое. Например, из кучи в 15 камней игрок может получить кучу из 16, 19 или 30 камней. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в кучах становтся не менее 40. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 39.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

(А. Богданов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит три кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч 3, 13 или 23 камня. Игра завершается в тот момент, когда в сумме в кучах будет не менее 73 камней. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в кучах было (2, S, 2S) камней, 1 ≤ S ≤ 23.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень, или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 5), (20, 5), (10, 6), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда произведение количеств камней в кучах становится не менее 63. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой произведение числа камней в кучах будет 63 или более.

В начальный момент в первой куче было 2 камня, во второй куче - S камней; 1 ≤ S ≤ 31.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

(А. Богданов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит одна куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи половину или две трети камней, если количество камней делится на 2 и/или 3 соответственно. Если число камней не делится на два, то можно убрать два камня. Если число не делится на три, тогда можно убрать три камня. Например, пусть в куче 10 камней, тогда можно убрать половину или только три камня. А если в куче 12 камней, то можно убрать половину или две трети камней. Игра завершается в тот момент, когда в куче останется ровно 1 камень. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет ровно 1 камень. В начальный момент в куче было S камней, 2 ≤ S ≤ 37.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 5 камней, такую позицию в игре будем обозначать (10, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 5), (20, 5), (10, 6), (10, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 107. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 107 или больше камней. В начальный момент в первой куче было 13 камней, во второй куче – S камней, 1 ≤ S ≤ 93.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в любую кучу один камень или увеличить количество камней в любой куче в четыре раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 133. В начальный момент в первой куче было 7 камней, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 125.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, пусть в одной куче 5 камней, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (5, 9). За один ход из позиции (5, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (6, 9), (15, 9), (5, 10), (5, 27).

Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 88. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 88 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было 6 камней, во второй куче – S камней, 1 ≤ S ≤ 81.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 7 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (7, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (8, 5), (14, 5), (7, 6), (7, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 55. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет 55 камней или больше.

В начальный момент в первой куче было пять камней, во второй куче — S камней; 1 < S < 49.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 7 камней, а в другой 5 камней; такую позицию в игре будем обозначать (7, 5). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (8, 5), (14, 5), (7, 6), (7, 10). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 59. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет 59 камней или больше.

В начальный момент в первой куче было пять камней, во второй куче — S камней; 1 < S < 53.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.

Два игрока, Паша и Вероника, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может из каждой кучи убрать по три камня или убрать целиком одну кучу, а другую разделить на две равные (если это позволяет количество камней).

Игра завершается после того хода, когда хотя бы одна куча становится пустой или когда невозможно сделать очередной ход по правилам. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент времени в одной куче лежит N камней, а в другой – К камней.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.