(М. Шагитов) Обозначим через ДЕЛ(x, y) утверждение «натуральное число x делится без остатка на натуральное число y». Для какого наибольшего натурального числа A формула $$(\text{ДЕЛ}(x,15)\wedge \neg \text{ДЕЛ}(x,10))\to (A<x+50)$$

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной x?

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} и Q = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 }. Известно, что выражение

((x ∈ A) → (x ∈ P)) ∧ (¬(x ∈ Q) → ¬(x ∈ A))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наибольшее возможное количество элементов множества A.

(C. Горбачёв) Для какого наименьшего натурального числа A выражение

(x>56)∨(y≥x)∨(3x−y<A)

тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

(Л. Шастин) Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14&5 = 1110₂&0101₂ = 0100₂ = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа $А$ формула

¬(x&79=0)∧(x&31=0→¬(x&А=0))

истинна при всех целых значениях переменной $х\in [90;100]$ ?

На числовой прямой даны два отрезка: D = [7; 68] и C = [29; 100]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражение

(x∈D)→((¬(x∈C)∧¬(x∈A))→¬(x∈D))

истинно (т.е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Обозначим через m & n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел n и m. Так, например, 14 & 5 = 1110₂ & 0101₂ = 0100₂ = 4.

Для какого наибольшего целого положительного числа А выражение (x&А=0)∨¬(x&37=0)∨¬(x&12=0) тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых положительных х?

(М. Попков) Однажды в канун Нового года, на числовой прямой, в магической стране, существовали два волшебных отрезка: P = [56, 79] и Q = [63, 85]. Волшебник по имени Хексли решил создать особый отрезок A, который был способен сделать счастливыми всех жителей магической страны в новом году.

Для этого необходимо, чтобы формула ¬((x∈P)→(x∈Q))→(¬(x∈Q)→(x∈A)) была тождественно истинна, то есть принимала значение 1 при любом значении переменной х.

Но создание большого отрезка А требует очень много энергии. Помогите волшебнику Хексли определить его наименьшую длину и осчастливить всех жителей магической страны.

(С. Чайкин) Обозначим через $ДЕЛ(n,m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$». Сколько существует натуральных значений $A$ на отрезке $[1;11111]$, для которых выражение

$(\text{ДЕЛ}(A,x)\to (x\equiv A)\vee (x\equiv 1))\forall x\in \mathbb{N}$

тождественно истинне (т. е. принимает значение 1)?

(Л. Шастин) Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А формула

$\text{(\$x^2\$ + \$y^2\$ > 1024 - x) ∨ (y < -2x + A) }$

тождественно истинна, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

(Л. Шастин) Обозначим через $\text{mod}(m,n)$ остаток от деления m на n. Для какого наименьшего натурального числа А выражение

(A+x>700−A)∧(mod(A,100)+mod(100,x)>50)

тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х?

(С. Чайкин) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула

¬(ДЕЛ(x,263)→ДЕЛ(x,A))∧ДЕЛ(x,71)

тождественно ложна (т.е. принимает значение 0) при любом натуральном значении переменной х?

(М. Ишимов) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».
Пусть на числовой прямой дан отрезок B = [120; 130].
Для какого наименьшего натурального числа А формула

$((x\in B)\to \neg$ДЕЛ$(x,7))\vee (A>2x)$

истинна (т.е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?

Обозначим через ТРЕУГ(n, m, k) утверждение «существует невырожденный треугольник с длинами сторон n, m и k».

Для какого наибольшего натурального числа А формула

¬((ТРЕУГ(х, 11, 18) ≡ (¬(MAKC(x, 5) > 68))) ⋀ ТРЕУГ(х, А, 5))

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?

Примечание. МАКС(а, b) = а, если а > b и МАКС(а, b) = b, если а ≤ b.

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение
(x+2y<A)∨(y>x)∨(x>60)
тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?

Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение

(x+2y>A)∨(y<x)∨(x<30)

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1) при любых целых неотрицательных х и у?

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $А$ выражение
(x·y<A)∨(x<y)∨(9<x)
тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение
(x < A) ∨ (y < A) ∨ (x + 2y > 50)
тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

(А.Богданов) Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

(A + x < 123) → (ДЕЛ(x, 5) → ¬ДЕЛ(x, 7))

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?

Обозначим ДЕЛ(x, d) утверждение «Натуральное число х делится без остатка на натуральное число d». Укажите максимальное число А, при котором выражение
(ДЕЛ(x,10)∧ДЕЛ(x,26)∧(x≥300))→(A≤x)
тождественно истинно.