(Л. Шастин) Значение арифметического выражения 7²⁷⁰ + 7¹⁷⁰ + 7⁷⁰ – х, где х – целое положительное число, не превышающее 10000, записали в 7-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение х, при котором количество нулей в 7-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, максимально.
В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

(М. Попков) Значение арифметического выражения

${15625}^{16}-{3125}^3\times {25}^{19}+{625}^4-2005$

записали в системе счисления с основанием 25. Сколько значащих нулей содержится в этой записи?

(М. Попков) Значение арифметического выражения ${43}^{56}+{113}^{841}-x$, где $x$ – целое положительное число, не превышающее 2005, записали в 4-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором в 4-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, количество четных цифр четно, количество нечетных цифр четно и количество двоек не превышает 712.

В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

Примечание. Четными (нечетными) считайте цифры, числовое значение которых четно (нечетно).

(М. Попков) Пикми решила произвести впечатление на подписчиков в своем блоге. Она записала длинное выражение:

${16807}^{35}+{2401}^2\times {343}^9-{49}^{52}+7^3-2005$

вычислила его результат и перевела в систему счисления с основанием 49. Чтобы устроить интригу, она добавила вопрос: «Сколько цифр в этой записи имеют значение больше 9?». Помогите ей дать правильный ответ, чтобы подписчики не кринжанули.

(Л. Шастин) Значение арифметического выражения

$5·{729}^{2024}+3·{243}^{1413}-7·{81}^{169}-2·9^{107}+3017$

записали в системе счисления с основанием $27$​. Определите сумму чётных цифр с числовым значением, не превышающим 25, в записи этого числа.

(М. Попков) Масик решил сделать необычное предложение своей даме сердца. Он записал задачу:

$6xQR{x}_{35}+x59S{H}_{35}+PHx69Y{W}_{35}$,

где $x$ — неизвестная цифра из алфавита 35-ричной системы счисления. Условие таково: результат должен быть кратен квадрату самой часто встречающейся цифры в десятичной системе счисления, а если таких цифр несколько, то наибольшей из них. Масик хочет красиво объяснить решение и показать, что их любовь — это тоже математика. Помогите ему решить задачу.

Для наибольшего подходящего $x$ вычислите частное от деления значения арифметического выражения на квадрат числового значения наибольшей из его цифр, встречающихся наибольшее количество раз, в десятичной системе счисления и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.

Основание системы счисления указывать не нужно.

Примечание. Гарантируется, что ни при одном из допустимых значений $x$ 0 не является квадратом числового значения наибольшей из цифр, встречающихся наибольшее количество раз, в десятичной системе счисления.

(О. Лысенков) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 22.
${A23xAC0}_{22}+{GBx21670}_{22}$​
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 22-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 21.
Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 22 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.
Основание системы счисления указывать не нужно.

(М. Попков) Гэтсбинг решил завоевать внимание Крашихи с помощью математического квеста. Он вычислил значение выражения

${15625}^{16}-{3125}^3\times {25}^{19}+{625}^4-2005$,

перевел результат в систему счисления с основанием 5 и спрятал ответ в виде количества значащих нулей. Если вы поможете ему разгадать задачу, он сможет впечатлить Крашиху.

(А. Левченко) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основание 37:

$98x{31}_{37}+1x{924}_{37}$
В записи чисел переменная x обозначает некоторую цифру из алфавита 37-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 21. Для найденного x вычислите частное от деления данного арифметического выражения на 21 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 25.

$11353x{12}_{25}+135x{21}_{25}$

В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 25-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 24. Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 24 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

(О. Лысенков) Известно что число $X={****A**}_{16}={****2***3}_8$. На месте "*" может быть любая из цифр соответствующей системы счисления, причём каждая из звёздочек является значащей цифрой. Найдите количество вариантов числа X

(О. Лысенков) Известно что число $X={*E*}_{16}={*****2}_4$. На месте "*" может быть любая из цифр соответствующей системы счисления, причём каждая из звёздочек является значащей цифрой. Найдите количество вариантов числа X

(Д. Бахтиев) Два числа записаны в системе счисления с основанием $15$:
$M=432x{3}_{15}$
$N=86x{86}_{15}$
В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита $15$-ричной системы счисления.

Определите наименьшее натуральное значение $A$, при котором найдётся такой $x$, что значение выражения $M+A$ будет кратно $N$.

(М. Попков) Королева задумала следующее:

"Я создам волшебное число, которое будет зависеть от целого положительного числа x, не превышающего 2024. Это число будет вычисляться по следующему выражению:

$9^{2024}+9^{1987}-x$.

Затем я превращу это число в 9-ричную систему счисления. Но есть одно условие: в 9-ричной записи моего волшебного числа должно содержаться ровно 1984 восьмерок. Я хочу узнать, какое наибольшее значение x может быть, чтобы это условие выполнялось."

Снежная Королева пригласила самых смекалистых жителей своего королевства, чтобы они попытались разгадать её загадку. Каждый из них знал, что именно от их ума зависит, смогут ли они угодить Королеве и получить её благосклонность. Попробуй и ты разгадать загадку!

(Л. Шастин) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием $25$​.

$A4x7F{2}_{25}+NxG5x{H}_{25}+74xM{26}_{25}$​

В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита $25$​-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение $x$​, при котором значение данного арифметического выражения кратно $24$​. Для найденного значения $x$ вычислите частное от деления значения арифметического выражения на $24$​ и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

(Д. Бахтиев) Известно, что значение арифметического выражения $7^{666}+7^{333}+{49}^x-343$ в 7-ричной системе счисления содержит ровно 49 цифр "6". Для какого наименьшего натурального $x$ это возможно? В ответе укажите только число

(Л. Шастин) В некоторых системах счисления, для записи оснований которых используются целочисленные переменные $p<37$ и $s<35$, выполняется равенство:

$R{4}_{p-1}+B{0}_{s+2}+T3NK{4}_p={23593399}_{10}$.

Определите произведение подходящих значений $p$ и $s$ и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.

(К. Багдасарян) Значение арифметического выражения $3^{2000}+3^{10}-х$, где х – натуральное число, записали в троичной системе счисления. Определите наименьшее значение x, при котором троичная запись значения данного выражения содержит 2000 цифр «2».

(К. Багдасарян) Значение арифметического выражения $5^{2025}+5^{400}-х$, где х – натуральное число в диапазоне от 10 до 70000, записали в системе счисления с основанием 5. Определите максимальное значение x, при котором данная запись содержит наибольшее количество цифр «4».