(Л. Шастин) Операнды арифметического выражения записаны в системах счисления с основаниями $14$ и $17$.

$4B3x1C{7}_{14}+5xG83F{7}_{17}$​​

В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная допустимая цифра из алфавита данных систем счисления. Определите наименьшее значение $x$, при котором значение данного арифметического выражения кратно $15$​. Для найденного значения $x$ вычислите частное от деления значения арифметического выражения на $15$ и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

(Л. Шастин) Значение арифметического выражения

$15\cdot {343}^{2031}+7\cdot {49}^{1142}-3\cdot 7^{111}+7^{222}-16809$

записали в системе счисления с основанием $7$. Определите разницу между количеством чётных и нечётных цифр в записи этого числа.

(Д. Бахтиев) Значение выражения $3·{17}^{777}+15·{17}^{250}-6·{17}^{100}+2$ записали в системе счисления с основанием 17. Сколько различных чётных цифр содержится в этой записи?

Значение арифметического выражения 7³⁵⁰ + 7¹⁵⁰ – x, где x – целое положительное число, не превышающее 2300, записали в семеричной системе счисления. Определите наибольшее значение x, при котором в семеричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно 200 нулей.
В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

Значение арифметического выражения 4²¹⁰ + 4¹¹⁰ – x, где x – целое положительное число, не превышающее 3000, записали в четверичной системе счисления. Определите наименьшее значение x, при котором в четверичной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится наибольшее количество нулей.

В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 21.
$82934x{2}_{21}+2924xx{7}_{21}+67564x{8}_{21}$
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 21-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 20. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 20 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

(М. Попков) Значение арифметического выражения $5^{150}+5^{98}-x$, где $x$ – целое положительное число, не превышающее 2005, записали в 5-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором количество нулей в 5-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, максимально.

В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

Значение арифметического выражения 3¹⁰⁰ – x, где x – целое положительное число, не превышающее 2030, записали в троичной системе счисления. Определите наибольшее значение x, при котором в троичной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно один нуль.

В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

Значение арифметического выражения $7^{170}+7^{100}-х$, где х - целое положительное число, не превышающее 2030, записали
в 7-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение х, при котором количество нулей в 7-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, максимально.
В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

(Л. Шастин) Значение арифметического выражения $3^{10}+3^7+3^3+2-a$, где $a$ – натуральное число, записали в системе счисления с основанием 3. Определите минимальное значение $a$, при котором в данной записи все троичные цифры встречаются одинаковое количество раз.

(М. Попков) Значение арифметического выражения $4^{163}\times 5+{12}^{62}-x$, где $x$ – целое положительное число, не превышающее 2005, записали в 5-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором в 5-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, количество цифр «1» меньше количества цифр «4».

В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

(М. Попков) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 42.

$J569x_{42}+1xI{A}_{42}$

В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита 42-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение $x$, при котором значение данного арифметического выражения кратно 155.

Для найденного $x$ вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 155 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.

Основание системы счисления указывать не нужно.

(М. Попков) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основание 18:

$11Hx{05}_{18}+3Fx54x{8}_{18}+Gxxx{9}_{18}$

где $x$ — неизвестная цифра из алфавита 18-ричной системы счисления. Найдите наименьшее значение $x$, при котором результат выражения кратен 14. Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 14 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.

Основание системы счисления указывать не нужно.

(Л. Шастин) Значение арифметического выражения 7²⁷⁰ + 7¹⁷⁰ + 7⁷⁰ – х, где х – целое положительное число, не превышающее 10000, записали в 7-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение х, при котором количество нулей в 7-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, максимально.
В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

(М. Попков) Значение арифметического выражения

${15625}^{16}-{3125}^3\times {25}^{19}+{625}^4-2005$

записали в системе счисления с основанием 25. Сколько значащих нулей содержится в этой записи?

(М. Попков) Значение арифметического выражения ${43}^{56}+{113}^{841}-x$, где $x$ – целое положительное число, не превышающее 2005, записали в 4-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором в 4-ричной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, количество четных цифр четно, количество нечетных цифр четно и количество двоек не превышает 712.

В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

Примечание. Четными (нечетными) считайте цифры, числовое значение которых четно (нечетно).

(М. Попков) Пикми решила произвести впечатление на подписчиков в своем блоге. Она записала длинное выражение:

${16807}^{35}+{2401}^2\times {343}^9-{49}^{52}+7^3-2005$

вычислила его результат и перевела в систему счисления с основанием 49. Чтобы устроить интригу, она добавила вопрос: «Сколько цифр в этой записи имеют значение больше 9?». Помогите ей дать правильный ответ, чтобы подписчики не кринжанули.

(Л. Шастин) Значение арифметического выражения

$5·{729}^{2024}+3·{243}^{1413}-7·{81}^{169}-2·9^{107}+3017$

записали в системе счисления с основанием $27$​. Определите сумму чётных цифр с числовым значением, не превышающим 25, в записи этого числа.

(М. Попков) Масик решил сделать необычное предложение своей даме сердца. Он записал задачу:

$6xQR{x}_{35}+x59S{H}_{35}+PHx69Y{W}_{35}$,

где $x$ — неизвестная цифра из алфавита 35-ричной системы счисления. Условие таково: результат должен быть кратен квадрату самой часто встречающейся цифры в десятичной системе счисления, а если таких цифр несколько, то наибольшей из них. Масик хочет красиво объяснить решение и показать, что их любовь — это тоже математика. Помогите ему решить задачу.

Для наибольшего подходящего $x$ вычислите частное от деления значения арифметического выражения на квадрат числового значения наибольшей из его цифр, встречающихся наибольшее количество раз, в десятичной системе счисления и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.

Основание системы счисления указывать не нужно.

Примечание. Гарантируется, что ни при одном из допустимых значений $x$ 0 не является квадратом числового значения наибольшей из цифр, встречающихся наибольшее количество раз, в десятичной системе счисления.

(О. Лысенков) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 22.
${A23xAC0}_{22}+{GBx21670}_{22}$​
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 22-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 21.
Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 22 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.
Основание системы счисления указывать не нужно.